Beispiel 5:
Beweis einer Ungleichung
Diesmal betrachten wir eine Ungleichung, besser wäre die Bezeichnung "Relation".
Der Umgang mit den Zeichen =, <, >, \( \geq \), \( \leq \) darf keine Schwierigkeiten machen.
Ansonsten hilft youtube mit Daniel Jung und anderen weiter. Unten
findet sich eine kleine Wiederholung zu diesem Thema.
Beweisen Sie: \(2^n > n^2 ~\) für alle n > 4.
Folgende Vorgehensweise ist bei Ungleichungen empfehlenswert: Man zieht die Induktionsbehauptung
auseinander und setzt die Induktionsvoraussetzung in die Mitte.
Induktionsanfang
n=5
\(2^5 > 5^2 ~\) ==> 32>25, wahre Aussage.
Induktionsschluss
- Induktionsvoraussetzung:
\(2^k > k^2 ~\)
- Induktionsbehauptung:
\(2^{(k+1)} > (k+1)^2 ~\)
Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung:
\( 2^{(k+1)} \)
.
.
.
.
\(2^k ~\)
>
\( k^2 ~\)
.
.
.
.
\( (k+1)^2 ~\)
Zunächst sieht es gut aus. \( 2^{(k+1)} \) ist größer als \( 2^{k} \).
Aber es droht Ungemach, denn \( k^2 ~\) ist kleiner als \( (k+1)^2 ~\)
und es dürfen in dieser Aufgabe nur die Zeichen =, > und \(\geq \) verwendet werden.
Wir berechnen \( 2^{(k+1)} \)= \( 2*2^k \) und erweitern die Induktionsvoraussetzung
mit zwei. Die IV muss auf beiden Seiten erweitert werden (damit die Aussage nicht
verfälscht wird), deshalb wird \( k^2 ~\) ebenfalls verdoppelt. Das geschieht in 2.) und 3.) .
Jetzt sieht es besser aus, es muss bewiesen werden, dass \(2*k^2 \geq (k+1)^2\) .
Das geschieht durch eine v.I. innerhalb einer v.I. .
Nochmal von vorne:
1.) \( 2^{(k+1)} \)
=
2.) \( 2*2^k \)
>
3.) \(2*k^2 \)
=
4.) \(k^2+~~~~~k^2 \)
Zu beweisen: \(k^2 \geq {2*k+1}\) für alle \(k > 4\).
Induktionsanfang
4.1.) n=5
4.2.) \( 5^2>11 \). Wahre Aussage.
Induktionsschluss
- Induktionsvoraussetzung:
4.3.) \(k^2 \geq {2*k+1}\)
- Induktionsbehauptung:
4.4.) \((k+1)^2 \geq {2*(k+1)+1}\)
Beweis der Induktionsbehauptung:
4.5.) \((k+1)^2\)
=
4.6.) \(k^2+2*k+1 \)
\(\geq \)
4.7.) \(2*k+1 +2*k+1\)
\(= \)
4.8.) \(4*k+2\)
\(> \)
4.9.) \(2*k+3\)
\(= \)
4.10.) \(2*(k+1)+1\)
(q.e.d.)
>
5.) \(k^2+~~~~~2*k+1\)
=
6.) \( (k+1)^2\)
q.e.d.
Noch einige Anmerkungen zu den Schritten 4.1.) bis 4.10.):
Bei 4.) und 5.) wurde je ein \(k^2\) abgezogen,
zu zeigen war \(k^2 \geq {2*k+1}\).
In 4.6.) und 4.7.) findet sich die Induktionsvoraussetzung wieder, zu der auf beiden Seiten
\(2*k+1\) addiert wurden.
Der Schritt von 4.8.) nach 4.9.) hätte ebenfalls bewiesen werden müssen, wir haben darauf verzichtet,
da diese Aussage für k>4 sofort einzusehen ist.
Wiederholung: Ungleichungen
Ungleichungen sehen folgendermaßen aus:
\( x \leq{-4} \), das heißt x ist kleiner oder gleich -4.
Lösungen für x wären -120, -6, -5 und auch -4.
\( x \geq{-4} \), das heißt x ist größer oder gleich -4.
Lösungen für x wären 120, 6, 0, -3 und auch -4.
\( x > -4 \), das heißt x ist größer als -4.
Lösungen für x wären 120, 6, -3,175.
Wie auch bei Gleichungen können auf beiden Seiten Werte addiert oder subtrahiert werden.
Gegeben ist die Ungleichung \( x-8 < 3 \). Ein Addieren von acht auf beiden Seiten führt
zu der Lösung \( x < 11 \).
Multiplizieren und Dividieren sind ebenfalls möglich. Zu beachten ist:
wenn wir mit negativen Zahlen arbeiten, dann dreht sich das Relationszeichen.
\( 5 < 7 ~~~~ | *(-1) \) ergibt
\( -5 < -7 \) was aber falsch ist.
\( -5 > -7 \) nach Drehung von "<" zu ">" wieder richtig.
Gleiches gilt bei der Division mit einer negativen Zahl:
\( -8 < 2 ~~~~ | : (- \frac{1}{2}) \)
\( 16 < -4 \) ist falsch.
\( 16 > -4 \) jetzt richtig.
Übungsvorschlag: Sie potenzieren beide Seiten folgender Ungleichungen mit 2, 3 und 4:
\( -3 < 4 \) und \( -3 < 2 \).
und untersuchen, wann das Relationszeichen gedreht werden muss.
Sie stehen vor dem Problem zu beweisen, dass gilt: \( a < h \).
Üblicherweise ist dieses nicht sofort ersichtlich, und Sie nehmen weitere Hilfsterme hinzu:
\( a < b < c < d < e < f < g < h \). Dann zeigen Sie nacheinander \( a < b \) ,
\( b < c \) , \( c < d \) , ... , \( g < h \). Dann ist \( a < h \) bewiesen.
Auch die Abfolge \( a = b = c = d < e = f = g = h \) würde ausreichen.
Nicht ausreichend wäre \( a \leq{b} \leq{c} \leq{d} \leq{e} \leq{f} \leq{g} \leq{h} \).
Für den Beweis \( a \leq{h} \) ist \( a = b = c = d = e = f = g = h \) ausreichend.
Sobald in der Kette ein \( \geq \) oder gar ">" erscheint, ist keine Aussage möglich.
Also \( a \leq{h} \) ist nicht bewiesen durch die Kette \( a < b < c < d < e < f \geq g < h \).
Gegeben ist die wahre Aussage 10 < 20 < 30 < 40 < 50 < 60.
Ebenfalls richtig ist 10 < 20 < 39 < 40 < 50 < 60.
Und auch 10 < 20 < 21 < 40 < 50 < 60.
Falsch ist 10 < 20 < 20 < 40 < 50 < 60.
Vergrößert man einen Ausdruck irgendwo in der Mitte, dann muss man nach rechts sehen.
Verkleinert man einen Ausdruck irgendwo in der Mitte, dann muss man nach links sehen.
Bei ">" statt "<" natürlich entgegengesetzt.
Und noch etwas: wenn man Änderungen am Anfang oder am Ende der Ungleichung vornimmt,
dann sollte man bedenken, dass die zunächst gestellte Aufgabe zu einer anderen wird.
Also 9 < 61 ist ebenfalls richtig, aber eine andere Aufgabe.