Beispiel 2:
Aufsummierung von Kubikzahlen
Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n \( \geq{1} \) gilt:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}~.\)
Wir beginnen jetzt mit dem Induktionsanfang, wie es üblich ist. Das Fragezeichen
über dem Gleichheitszeichen lassen wir weg. Wir formen in diesem Beispiel
nur die linke Seite der Induktionsbehauptung um. Das erfordert, dass man die
Möglichkeiten des Ausklammerns und binomische Formeln erkennt.
Induktionsanfang
Wir setzen n=1:
\(1^3 ~ = \frac{1^2(1+1)^2}{4}\,\)
1=1, wahre Aussage.
Induktionsschluss
- Induktionsvoraussetzung:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}~.\)
- Induktionsbehauptung:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.\)
Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung:
\(\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)
\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.\)
Wir formen hier nur die linke Gleichungsseite um.
Erweitern des zweiten Summanden:
\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~ \frac{4(k+1)^3}{4} ~ \),
\(=\frac{k^2(k+1)^2\, + ~ 4(k+1)^3}{4} ~ \),
auf die rechte Seite sehen, um eine geeignete Vorgehensweise herauszufinden.
Zweckmäßig ist es, \((k+1)^2\) ausklammern:
\(=\frac {(k+1)^2 [k^2+4(k+1)]}{4} ~ \),
\(=\frac {(k+1)^2 (k^2+4k+4)}{4} ~ \)
Binom im zweiten Faktor erkennen:
\(=\frac {(k+1)^2 (k+2)^2}{4} ~ \),
\(=\frac {(k+1)^2 ((k+1)+1)^2} {4} ~ \)
Und das ist gleich der rechten Seite der Induktionsbehauptung.
q.e.d.
(q.e.d ist die Abkürzung für qoud erat demonstrandum, übersetzt: was zu beweisen war.
Auch ein kleines, leeres Quadrat am Ende des Beweises ist üblich.)
Eine zweite Lösungsmöglichkeit ist das Entfernen der Klammern auf beiden Seiten der IB, dann
muss man das Binom nicht erkennen. Nachteil: man kann sich leichter verrechnen.
\(\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)
\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~\)
zweiter Summand erweitert (*4):
\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~~\frac{4(k+1)^3}{4} ~~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~\),
beide Seiten *4:
\(k^2(k+1)^2 + 4(k^3+3k^2+3k+1)~ = ~(k+1)^2(k+2)^2 \)
\(k^2(k^2+2k+1)+4k^3+12k^2+12k+4~ = ~ (k^2+2k+1)(k^2+4k+4)\)
\(k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4 ~ = ~ k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4 \)
q.e.d.