Komplexe Zahlen

Mit Hilfe der komplexen Zahlen ist es möglich, Gleichungen wie z.B. [math]\displaystyle{ x^{2}+1 = 0 }[/math] zu lösen.

Das Einzige, das neu dazukommt, ist die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]",

alle anderen Rechenregeln bleiben erhalten.

Vorbemerkung und Wiederholung

In der Mittelstufe wurde folgendes gelehrt:

[math]\displaystyle{ (14 - 5) * (17 - 11) = 9 * 6 = 54 }[/math].

Oder man rechnet mit doppelter Anwendung des Distributivgesetzes:

[math]\displaystyle{ 14*17 - 5*17 -14*11 + 5*11 = 238 - 85 - 154 + 55 = 54. }[/math]

Wir sehen: [math]\displaystyle{ (-5)*(-11) }[/math] muss [math]\displaystyle{ 55 }[/math] ergeben, oder kürzer: "Minus mal Minus ergibt Plus".

Somit ergibt sich: [math]\displaystyle{ (-7)*(-7) = 49 }[/math]

Wäre das nicht so, dann würde das Gefüge von Addition und Multiplikation sofort zusammenbrechen,

weil die Distributivgesetze verletzt wären. Und wir sind auch gewohnt: "Plus mal Plus ergibt Plus".

Das Quadrieren einer Zahl ungleich Null führt also immer zu einer positiven Zahl.

i[math]\displaystyle{ ^{2} = -1, }[/math]

Und nun kommt eine Ausnahme, die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]".

Hier gilt jetzt:

[math]\displaystyle{ \mathrm{i*i = -1.} }[/math]

Oder kürzer:

[math]\displaystyle{ \mathrm{i^2 = -1.} }[/math]

Selbstverständlich bleiben die bis jetzt erlernten Rechenregeln erhalten!

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen kennen die meisten von uns, Beispiele:

[math]\displaystyle{ -23, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{5}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ 114,375, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{log 19.} }[/math]

Die Menge der reellen Zahlen wird mit "[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]" bezeichnet.

Imaginäre Zahlen

Neu sind jetzt die imaginären Zahlen:

[math]\displaystyle{ 24\mathrm{i} }[/math],

[math]\displaystyle{ -9\mathrm{i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}\mathrm{i} }[/math].

Die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]" kann man ebenfalls als imaginäre Zahl bezeichnen.

Die Menge der imaginären Zahlen hat keine eigene Abkürzung.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl entsteht durch Zusammenfügen einer rellen Zahl und einer imaginären Zahl,

das sieht dann so aus:

[math]\displaystyle{ 4 + 7*\mathrm{i} }[/math].

Es werden also FÜNF Symbole zu einer Zahl:

[math]\displaystyle{ 4, }[/math]

[math]\displaystyle{ +, }[/math]

[math]\displaystyle{ 7, }[/math]

[math]\displaystyle{ *, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math].

Diese neu entstandenen Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, sie wird mit "[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]" bezeichnet.

Die komplexe Zahl [math]\displaystyle{ 4 + 7*\mathrm{i} }[/math] hat den Realteil "4" und den Imaginärteil "7".

Bei einer imaginären Zahl ist der Realteil gleich 0, bei einer reellen Zahl ist der Imaginärteil gleich 0.

WICHTIGE HINWEISE

* "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]" ist keine Variable, wir setzen keine Werte ein, es gilt [math]\displaystyle{ \mathrm{i}^{2} = -1. }[/math]

* "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]" ist nicht "irgend etwas mit eins oder Wurzel aus eins" und hat auch wenig mit eins zu tun.

Wir berechnen nicht [math]\displaystyle{ 7*\mathrm{i} }[/math].

* Wir nehmen auch keine Verkürzung vor, indem wir [math]\displaystyle{ 4+7*\mathrm{i} }[/math] oder [math]\displaystyle{ 4+7 }[/math] berechnen.

Wenn [math]\displaystyle{ 4+7*\mathrm{i} }[/math] das Ergebnis einer Berechnung ist, dann bleibt die Zahl so stehen.

* Realteil UND Imaginärteil einer komplexen Zahl sind reelle Zahlen.

* Die Schreibweise [math]\displaystyle{ \mathrm{i} = \sqrt{-1} }[/math] ist nicht falsch, man sollte sie aber trotzdem vermeiden.

* Beim Ausdruck [math]\displaystyle{ \sqrt{-16} }[/math] ersetzt man besser das Minuszeichen unter der Wurzel durch [math]\displaystyle{ \mathrm{i}^{2} }[/math],

so dass [math]\displaystyle{ \sqrt{-16} }[/math] = [math]\displaystyle{ \sqrt{16*\mathrm{i}^2} = 4*\mathrm{i} }[/math].

Die Menge der komplexen Zahlen umfasst somit die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen,

die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen, die imaginären Zahlen und die zusammengesetzten,

also "echt komplexen" Zahlen. Einige Beispiele:

[math]\displaystyle{ 1,275 - 3\mathrm{i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{-17}{9} + \sqrt{2}\mathrm{i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 5\mathrm{i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ -23, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{5}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ 1. }[/math]

Google kann sehr gut mit komplexen Zahlen rechnen. Geben Sie einfach mal die Zeichenfolge [math]\displaystyle{ \mathrm{i*i} }[/math] (für copy+paste: i*i)

in das google-Suchfeld ein! Oder [math]\displaystyle{ \mathrm{(-i)*(-i)} }[/math] (für copy+paste:(-i)*(-i)). Wir kommen noch darauf zurück.

Addition und Subtraktion

Das ist einfach. Wir addieren (oder subtrahieren) die Realteile und imaginären Zahlen getrennt voneinander.

[math]\displaystyle{ (5 + 17\mathrm{i}) + (7 + 8\mathrm{i}) ~ = ~ 12 + 25\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ (4 + 2\mathrm{i}) - (7 - 22\mathrm{i}) ~ = ~ -3 + 24\mathrm{i} }[/math]

Multiplikation

Nochmals: auch die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen gehören zu den komplexen Zahlen, ihr Imaginärteil ist Null.

[math]\displaystyle{ 17 = 17 + 0*\mathrm{i} }[/math]

Beispiel 1

[math]\displaystyle{ 2 ~ * ~ (6 + 3,5\mathrm{i}) = 12 + 7\mathrm{i} }[/math]

Beispiel 2

[math]\displaystyle{ 3\mathrm{i} ~ * ~ 17\mathrm{i} = (3*17*\mathrm{i}*\mathrm{i}) = -51 }[/math] , das Minuszeichen erscheint wegen [math]\displaystyle{ \mathrm{i}^2=-1 }[/math]

Beispiel 3

[math]\displaystyle{ (2 + 7\mathrm{i}) * (5 + 9\mathrm{i}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2*5 + 7\mathrm{i}*5 + 2*9\mathrm{i} + 7\mathrm{i}*9\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ = 10 + 35\mathrm{i} +18\mathrm{i} -63, }[/math]

[math]\displaystyle{ = -53 + 53\mathrm{i} }[/math]

Zur Übung seien folgende Berechnungen empfohlen:

[math]\displaystyle{ (2 + 3\mathrm{i}) * (4 - 5\mathrm{i}) }[/math]

[math]\displaystyle{ (8 + 3\mathrm{i}) * (8 - 3\mathrm{i}) }[/math] Die dritte binomische Formel taucht hier auf

[math]\displaystyle{ (8 + 3\mathrm{i}) * (-8 - 3\mathrm{i}) }[/math]

Ihre Ergebnisse lassen sich mit google nachprüfen, dazu sind jeweils

(2 + 3*i) * (4 - 5*i)

(8 + 3*i) * (8 - 3*i)

(8 + 3*i) * (-8 - 3*i)

mit Hilfe von copy + paste in das google-Suchfeld zu übertragen.

Division

Tritt im Nenner ein Imaginärteil auf, dann muss man den Bruch erweitern und zwar

mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. "Konjugiert" bedeutet, dass das Vorzeichen

des Imaginärteils wechselt. Das sieht so aus:

[math]\displaystyle{ z=23-17\mathrm{i} ~ =\gt \overline{z}=23+17\mathrm{i} }[/math]

Beispiel für eine Division:

[math]\displaystyle{ \frac{7+4\mathrm{i}}{8+9\mathrm{i}} }[/math]

Erweitern von Zähler und Nenner mit [math]\displaystyle{ (8-9\mathrm{i}) }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{(7+4\mathrm{i})(8-9\mathrm{i})}{(8+9\mathrm{i})(8-9\mathrm{i})} }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{56+32\mathrm{i}-63\mathrm{i}-36\mathrm{i}^2}{64+72\mathrm{i}-72\mathrm{i}-81\mathrm{i}^2} }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{92-31\mathrm{i}}{145} }[/math]

= [math]\displaystyle{ 0,6345-0,2138\mathrm{i} }[/math]

Potenzen von i

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^0=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^1=\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^2=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2*\mathrm{i}=-\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^4=\mathrm{i}^2*\mathrm{i}^2=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^5=\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^6=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^7=-\mathrm{i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^8=1 }[/math]

usw.

Hinweis:

[math]\displaystyle{ \mathrm{i}^4=1 ~ }[/math] bedeutet nicht, dass [math]\displaystyle{ \mathrm{i}=1 ~ }[/math] ist. Man kann aber [math]\displaystyle{ \mathrm{i}^4 ~ }[/math] durch "[math]\displaystyle{ 1 }[/math]" ersetzen.

"[math]\displaystyle{ \mathrm{i} ~ }[/math]" ist eine Zahl, die es nicht gibt, ist also "imaginär".

Übungsempfehlung: [math]\displaystyle{ z^2 + 2z +3, ~ mit ~ z= -1 + \sqrt{2}*\mathrm{i} }[/math]

Wenn Sie es bis hierhin geschafft haben, dann können Sie die Konstruktion der sogenannten

Mandelbrot-Menge verstehen!

Gauß'sche Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene ist ein Koordinatensystem mit zwei Achsen,

die senkrecht aufeinanderstehen. Dazu folgende Anmerkungen:

- Die senkrechte Achse (Im) enthält als Markierungen die imaginären Zahlen.

  In unseren Beispielen geben wir die Imaginärteile (-2, -1, 0, 1, 2, 3...) an, andere Autoren

  schreiben [math]\displaystyle{ -2\mathrm{i}, -\mathrm{i}, 0, \mathrm{i}, 2\mathrm{i}, 3\mathrm{i} }[/math] ... Manchmal werden die Achsen mit x und y

statt mit Re und Im bezeichnet.

- Für das Rechnen mit reellen Zahlen genügt der Zahlenstrahl,

  in der komplexen Zahlenebene bewegen wir uns in zwei Dimensionen.

  Leider lassen sich Funktionen schlecht darstellen, unter Umständen

  benötigen wir zwei Koordinatensysteme.

- Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen führt uns auf die reelle Achse,

  umgekehrt passiert das nicht.

- Einen Vergleich zweier komplexer Zahlen durch eine Ordnungsrelation [math]\displaystyle{ z_1 \lt z_2 ~ }[/math] oder [math]\displaystyle{ ~ z_3 \gt z_4 }[/math]

  gibt es nicht; wir können nicht feststellen, welche der beiden Zahlen [math]\displaystyle{ 4 + 7*\mathrm{i} ~ }[/math] und [math]\displaystyle{ ~ 3 + 8*\mathrm{i} ~ }[/math] die größere ist.

Beispiel

Wir wollen die Zahl [math]\displaystyle{ z=7+3\mathrm{i} }[/math] in der Gaußschen Zahlenebene eintragen. Zunächst gehen wir auf der

reellen Achse 7 Längeneinheiten nach rechts und dann parallel zur imaginären Achse 3 Längeneinheiten

nach oben.

Darstellung einer komplexen Zahl

Betrag (Länge) einer komplexen Zahl

Der Betrag, also die Länge von [math]\displaystyle{ z=7+3\mathrm{i} }[/math] ist:

[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58} ~ = ~ 7,62... ~ }[/math]LE

LE ist die Abkürzung für Längeneinheiten.

Das "LE" werden wir in Zukunft weglassen, bei einer Multiplikation im Komplexen entstehen

keine Quadratmeter oder Kubikmeter aus Längeneinheiten.

Was wir sehen ist nichts anderes, als der Satz des Pythagoras. [math]\displaystyle{ |z| }[/math] ist die Hypotenuse;

Realteil und Imaginärteil sind die Katheten.

Beispiel

Hier ist [math]\displaystyle{ z=-4\mathrm{i} }[/math] eingezeichnet. Der Betrag ist [math]\displaystyle{ |z|=4 }[/math] .

Der Betrag einer komplexen Zahl ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.

Komplexe Zahl ohne Realteil

Übungsvorschläge:

Gegeben: [math]\displaystyle{ z=6-7\mathrm{i}. }[/math] Wie groß ist [math]\displaystyle{ |z| }[/math]?

Gegeben: [math]\displaystyle{ z=1+\mathrm{i}. }[/math] Wie groß ist [math]\displaystyle{ |z|? }[/math] Kleine Hilfe: [math]\displaystyle{ 1+\mathrm{i}=1+1\mathrm{i} }[/math]

Beispiel

Hier haben wir [math]\displaystyle{ z=-9-2,5\mathrm{i} ~ }[/math] und die konjugiert komplexe Zahl [math]\displaystyle{ ~ \overline{z}=-9+2,5\mathrm{i} }[/math] eingetragen.

Konjugiert komplexe Zahlen

Übungsvorschläge: Berechnen Sie [math]\displaystyle{ z+\overline{z} ~, ~ z-\overline{z} ~ }[/math] und [math]\displaystyle{ ~ \overline{z}-z. }[/math]

Zeichnerische Addition

In drei Schritten zeigen wir die Addition der Zahlen [math]\displaystyle{ (5 + 5\mathrm{i}) ~ + ~ (-3 + 2\mathrm{i}). }[/math]

Schritt 1

Den ersten Summanden einzeichnen:

Zeichnerische Addition, 1. Summand

Schritt 2

Die Komponenten des zweiten Summanden an die Pfeilspitze des ersten setzen:

Zeichnerische Addition, 2. Summand

Schritt 3

Die dritte Pfeilspitze zeigt das Ergebnis an:

Zeichnerische Addition, Ergebnis

Zeichnerische Subtraktion

Wir ermitteln die Differenz von [math]\displaystyle{ (4 + 2\mathrm{i}) ~ - ~ (2 + 3\mathrm{i}). }[/math]

Dazu zeichnen wir beide Zahlen ein. Zunächst durchlaufen wir den Subtrahenden

2+3i in entgegengesetzter Pfeilrichtung (wegen des Minuszeichens) und erreichen

den Ursprung des Koordinatensystems. Nun führen wir eine Addition aus, indem wir

den Minuenden [math]\displaystyle{ 4+2\mathrm{i} }[/math] im Ursprung anfügen. Die Verbindung von Startpunkt zum Zielpunkt

ergibt die gesuchte Differenz.

Zeichnerische Subtraktion

Übungsempfehlung: in ein Koordinatensystem ist zu zeichnen

[math]\displaystyle{ (2 + 3\mathrm{i}) ~ - ~ (4 + 2\mathrm{i})~ }[/math]

und

[math]\displaystyle{ -(2 + 3\mathrm{i}) ~ - ~ (4 + 2\mathrm{i}). }[/math]

Wiederholung Trigonometrie

Alles über Winkelfunktionen ist hier als Wiederholung gedacht, wenn etwas zu schnell geht,

dann hilft youtube mit Lehrerschmidt und anderen weiter.

Ein Kreis ist eingeteilt in 2*2*2*3*3*5 = 360 gleich große Teile. Ein Grad ist der 360te Teil eines

Kreises. Ein Viertelkreis beträgt 90° und heißt rechter Winkel.

Das folgende Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] = 24°.

Daraus lässt sich mit einem Taschenrechner das Verhältnis aus der Gegenkathete von [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]

dividiert durch die Hypotenuse ermitteln. Das ist der Sinus des Winkels [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math]

Die Eingabe von sin (24°) führt zu dem Ergebnis 0,40673...

Man muss darauf achten, dass der Taschenrechner auf Grad (deg) eingestellt ist.

Das Ergebnis kann man nachprüfen, indem man die Linienlängen von GK und HY

nachmisst und dann dividiert.

Wenn man zusätzlich zum Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] eine weitere Seitenlänge des Dreiecks kennt,

lässt sich das gesamte Dreieck berechnen.

Rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Übungsvorschlag:

Gegeben: Ein rechtwinkliges Dreieck mit [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] = 53°, Hypotenuse = 15 cm.

Gesucht: die Länge beider Katheten. Hinweis: Die Winkelsumme eines Dreiecks ist

180°, der andere Winkel [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ist damit 90°-53°=37°. Die Gegenkathete des Winkels [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]

ist gleichzeitig die Ankathete des Winkels [math]\displaystyle{ \beta. }[/math]

Haben wir umgekehrt das Seitenverhältnis aus Gegekathete:Hypotenuse gegeben, dann können

wir mit Hilfe des Arkussinus den Winkel berechnen. Auf dem Taschenrechner ist das meistens

die Taste [math]\displaystyle{ \mathrm{sin}^{-1}. }[/math] Achtung: das ist nicht der Kehrwert, sondern die Umkehrfunktion.

Ferner erhalten wir mit Anwendung des Satzes von Pythagoras [math]\displaystyle{ \mathrm{sin}^2 \alpha + \mathrm{cos}^2 \alpha = ~1. }[/math]

Eine andere Schreibweise ist [math]\displaystyle{ (\mathrm{sin}~\alpha)^2 ~ + ~ (\mathrm{cos}~\alpha)^2 = ~1. }[/math]

Übungsvorschlag:

Gegeben ist das Verhältnis GK:HY=0,669106. Wie groß ist der Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]?

Weitere Winkelfunktionen

- Der Kosinus (cos) eines Winkels ist das Verhältnis Ankathete dividiert durch Hypotenuse

- Der Tangens (tan) eines Winkels ist Gegenkathete dividiert durch Ankathete

- Der Kotangens (cot) eines Winkels ist Ankathete dividiert durch Gegenkathete, also der Kehrwert von tan.

Die Begriffe Sekans und Kosekans kommen nur selten vor, es handelt sich -genauso wie Kotangens- um Kehrwerte.

tan (90°) ist nicht definiert.

Umrechnung in das Bogenmaß

Es ist auch eine andere Teilung eines Kreises üblich: das Bogenmaß. Hier nehmen wir

einen Kreis mit dem Radius 1. Wegen der Kreisformel [math]\displaystyle{ U=2r\pi }[/math] ist der Umfang des ganzen

Kreises 2[math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Der gestreckte Winkel von 180° ist umgerechnet [math]\displaystyle{ \pi }[/math] und der rechte Winkel

90° ist [math]\displaystyle{ \pi }[/math]/2. Die Zahlen im Bogenmaß sind kleiner, wir haben einen Umrechnungsfaktor von

von 360°/2[math]\displaystyle{ \pi }[/math] = 57,29578... also 1 rad = 57,29578°.

Wichtig: der Taschenrechner muss korrekt eingestellt sein. Bei Grad auf deg (degrees),

beim Bogenmaß auf rad (radiant). Die "Einheit" rad, die eigentlich keine ist, sondern nur Teil

eines Kreises, wird meistens weggelassen. Wir schreiben also entweder [math]\displaystyle{ \mathrm{sin}~(\pi/8) }[/math]

oder [math]\displaystyle{ \mathrm{sin}~22,5°. }[/math]

Komplexe Zahlen in Polardarstellung

Eine komplexe Zahl kann man auch dann in ein Koordinatensystem eintragen, wenn man

ihren Betrag, also die Länge kennt und den Winkel zwischen Betrag und der reellen Achse.

Mit der Anwendung des Satzes von Pythagoras sieht die Zahl [math]\displaystyle{ z=3 + 4\mathrm{i} }[/math] so aus:

[math]\displaystyle{ z=(5; 53°). }[/math] Der Winkel von 53,13 Grad ergibt sich aus dem Arkustangens von 4:3.

Auf dem Taschenrechner gibt man ein: [math]\displaystyle{ \mathrm{tan}^{-1}(4:3) }[/math], ggf. muss auf deg (degrees) umgestellt werden.

In diesem Beispiel sind alle Einheiten der Seitenlängen natürliche Zahlen

(Realteil= 3, Imaginärteil= 4, Radius= 5 oder auch "Maurerdreieck", denn [math]\displaystyle{ 3^2 + 4^2 = 5^2 }[/math])

Polardarstellung einer komplexen Zahl

Allgemein schreibt man [math]\displaystyle{ z=(r; \varphi), }[/math] wobei r=[math]\displaystyle{ |z|. }[/math]

Wir verwenden bei den komplexen Zahlen für den Winkel den griechischen Buchstaben [math]\displaystyle{ \varphi }[/math],

genannt "phi". Mit der Polarform kann man aber nicht rechnen, wir brauchen dazu

die trigonometrische Darstellung oder die Exponentialform. Die Umformungen sind einfach,

aber zeitaufwändig.

Zeichnerische Multiplikation

Zu ermitteln ist das Produkt von [math]\displaystyle{ (2 +\mathrm{i}) ~ * ~ (2 + 6\mathrm{i}). }[/math]

Man addiert die Winkel der beiden Faktoren, den sie jeweils mit der positiven reellen Achse bilden.

Dann hat man zunächst "die Richtung des Produkts". Als nächstes multipliziert man die Beträge

beider Zahlen und erhält den Betrag als Länge. Diese Länge ist dann vom Ursprung abzutragen.

Das komplette Verfahren kann man sich auf youtube ansehen, das uns von

Prof. Jörn Loviscach vorgestellt wird.

Zeichnerische Multiplikation

Übungsvorschlag: Zeichnen Sie [math]\displaystyle{ (4 + 7\mathrm{i}) ~ * ~ \mathrm{i}~. }[/math]

Unterschiedliche Darstellungsformen

Für die Darstellung einer komplexen Zahl gibt es mehrere Möglichkeiten:

Algebraische Form:

[math]\displaystyle{ z = (a + b\mathrm{i}) }[/math],

als Beispiel:

[math]\displaystyle{ (7 - 2\mathrm{i}) }[/math]

Polarform:

[math]\displaystyle{ (r ~|~ \varphi) }[/math],

als Beispiel (in Grad, Modus "deg" auf dem Taschenrechner):

[math]\displaystyle{ (7,28 ~| ~344°) }[/math]

Trigonometrische Form:

[math]\displaystyle{ r*(\mathrm{cos} \varphi + \mathrm{i}*\mathrm{sin} \varphi) }[/math],

als Beispiel (im Bogenmaß, Modus "rad" auf dem Taschenrechner):

[math]\displaystyle{ \sqrt{53}*(\mathrm{cos}(6,005) + \mathrm{i}*\mathrm{sin}(6,005)) }[/math]

Exponentialform:

[math]\displaystyle{ r*\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\varphi} }[/math],

als Beispiel:

[math]\displaystyle{ 7,28*\mathrm{e}^{\mathrm{i}*6,005} }[/math] (mit der Eulerschen Zahl [math]\displaystyle{ \mathrm{e} = 2,71828... }[/math])

Zusammenhang zwischen trigonometrischer Form und Exponentialform:

[math]\displaystyle{ r*\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\varphi} }[/math] = [math]\displaystyle{ r*(\mathrm{cos} \varphi + \mathrm{i}*\mathrm{sin} \varphi) }[/math],

bei [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] (r ist der Radius bzw. der Betrag der komplexen Zahl) ergibt sich

[math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{\mathrm{i}*\varphi} }[/math] = [math]\displaystyle{ (\mathrm{cos} \varphi + \mathrm{i}*\mathrm{sin} \varphi) }[/math], Herleitung folgt später

Umwandlung verschiedener Darstellungsformen

Wenn die kartesischen Koordinaten einer komplexen Zahl gegeben sind, dann können wir daraus

den Betrag (die Länge) und den Winkel zur reellen Achse ermitteln. Wir werden an vier Beispielen

den Winkel [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] errechnen und dazu je nach Lage der Zahl in einem Quadranten

einen entsprechenden Korrekturwinkel addieren.

Wir rechnen ab jetzt nicht mehr in Grad, sondern im Bogenmaß (rad). Der Taschenrechner muss auf

den Modus "rad" eingestellt sein!

Zur Bestimmung von [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] nehmen wir zunächst den Tangens, den wir aus

Realteil und Imaginärteil berechnen können.

Berechnung im 1. Quadranten

[math]\displaystyle{ \mathrm{tan} ~ \varphi = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} }[/math]

Die komplexe Zahl 4 + 2i im 1. Quadranten

Berechnung im 2. Quadranten

[math]\displaystyle{ \mathrm{tan} ~ \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} }[/math]

Die komplexe Zahl -5 + 3i im 2. Quadranten

Berechnung im 3. Quadranten

[math]\displaystyle{ \mathrm{tan} ~ \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} }[/math]

Die komplexe Zahl -1 - 7i im 3. Quadranten

Berechnung im 4. Quadranten

[math]\displaystyle{ \mathrm{tan} ~ \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} }[/math]

Die komplexe Zahl -5 - 5i im 4. Quadranten

Rechnen mit komplexen Zahlen in google

Komplexe Zahlen können auch in Exponenten auftauchen. Damit sich niemand eine Vorstellung von "[math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math]"

macht, empfehlen wir folgende Berechnungen mit google, dabei gibt man die Operationen direkt

in das google-Suchfeld ein oder kopiert mit copy + paste. In den folgenden Beispielen

ist der Realteil im Exponenten gleich Null.

2 hoch (3*i) oder 2 ** (3*i) oder 2 to the power (3*i)

2 hoch (7*i)

100 hoch (6*i)

1000 hoch (26*i)

100000 hoch (9000*i)

Zu sehen ist, dass Realteil und Imaginärteil stets zwischen -1 und +1 liegen.

Und nun kommen wir zu der schönsten Formel der Mathematik, das ist die Eulersche Identität:

          [math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{\pi*\mathrm{i}} +1 = 0 }[/math]

Für die Eingabe in das google-Suchfeld:

(2,71828183 hoch (3,14159265*i)) +1

oder auch -diesmal ohne Rundungsfehler-

(e hoch (pi*i)) + 1

Weblinks

• Video der Technischen Informationsbibliothek (TIB)
• Serlo, Komplexe Zahlen
• Division komplexer Zahlen
• Zeichnerische Multiplikation
• Gleichungen lösen