Vollständige Induktion

2026-01-26T11:50:43Z

Administrator:

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Die vollständige Induktion ist ein Verfahren, mit dem eine Aussage <br />
für alle natürlichen Zahlen n, die größer oder gleich einem bestimmten <br />
Anfangswert sind, bewiesen werden soll. Das Adjektiv "vollständig" <br />
wird in der französischen und englischen Sprache nicht verwendet, <br />
man spricht hier vom "preuve par induction" oder "Mathematical Induction". <br />

Die vollständige Induktion besteht aus zwei Teilen: <br />

- dem Induktionsanfang sowie <br />
- dem Induktionsschluss (manchmal auch Induktionsschritt genannt). <br />

Das Prinzip ist folgendes: Wir beweisen im Induktionsschluss die Richtigkeit einer <br />
Aussage für ein sogenanntes "n+1" unter der Voraussetzung, dass die Aussage <br />
für den Vorgänger "n" ebenfalls richtig ist. Das genügt aber noch nicht. Es ist zusätzlich zu zeigen, <br />
<span style="color: red">DASS</span> die Aussage für n richtig ist. Das ist der Induktionsanfang. <br />
Üblicherweise wird mit dem Induktionsanfang begonnen, im ersten Beispiel wird davon abgewichen. <br />

=== Vorbemerkungen ===
Zunächst schauen wir einfach mal folgende Summen an: <br />

a) 1 + 3 = 4 <br />
b) 1 + 3 + 5 = 9 <br />
c) 1 + 3 + 5 + 7 = 16 <br />
d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 <br />
e) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 <br />
f) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 <br />
g) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 <br />
h) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 <br /><br />

Es ist hier so, dass wir z.B. das Ergebnis von f) in g) weiterverwenden können, <br />
wir brauchen also nicht aufs Neue 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 zu berechnen, <br />
sondern verkürzen auf 49 + 15 = 64. Und genauso von g) nach h) mit 64 + 17 = 81. <br />
Weiterhin sehen wir, dass auf der rechten Seite die Quadratzahlen von 2*2 bis 9*9 <br />
stehen. <br /><br />

Und nun zu unserem ersten Beispiel, im Internet schon über 1000 mal vorgeführt, <br />
die sogenannte "Gaußsche Summenformel". <br /><br />

Sie ist benannt nach dem wohl größten Mathematiker aller Zeiten Carl Friedrich Gauß <br />
(1777-1855). Der bekam bereits als kleines Kind von seinem Lehrer die Aufgabe, <br />
alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen. Also 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. <br />
Gauß änderte die Reihenfolge auf (100 + 1) + (99 + 2) + (98 + 3) + ... + (51 + 50). <br />
In jeder Klammer steht jetzt 101, so dass er die Rechnung verkürzte und das Produkt <br />
aus 101*50 (= 5050) berechnete. <br /><br />

Wenn man nur bis zur 99 aufaddieren will, dann sieht die Paarbildung etwas anders aus, <br />
nämlich (99 + 1) + (98 + 2) ... bis zu + (51 + 49). Die alleinstehende 50 wird dann <br />
zum Schluss addiert. Das Ergebnis ist also 100*49 + 50 = 4950. <br />
Mit diesen Überlegungen kann man eine Gleichung aufstellen, die auf der rechten <br />
Seite eine "Turbo-Formel" enthält, mit der sich erheblich schneller rechnen läßt: <br /><br />

<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ n = \frac{n*(n+1)}{2}~.</math> <br /><br />

Wenn man alle Zahlen von 1 bis 200 addieren will, dann rechnet man 200*(200+1):2, also 20.100 . <br />
Aber ist diese Formel für alle n korrekt? Das soll im ersten von sechs Beispielen bewiesen werden. <br /><br /><br />

=== Beispiel 1: Beweis der Gaußschen Summenformel ===
Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n <math> \geq{1} </math>gilt: <br />
<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ n = \frac{n*(n+1)}{2}~.</math> <br />

Wir fangen (ausnahmsweise) mit dem Induktionsschluss an. Wir schreiben zuerst die sogenannte <br />
Induktionsvoraussetzung (manchmal auch Induktionsannahme genannt) auf. Das ist nichts anderes, <br />
als ein Abschreiben der Aufgabe. Dann folgt die Induktionsbehauptung; diese soll für das um eins <br />
vergrößerte n gelten. Die Umbenennung von "n" in "k" erfolgt, um zu zeigen, dass die Aussage <br />
für eine beliebige Zahl gelten soll und (noch) nicht für alle Zahlen. Viele Autoren verzichten auf <br />
die Umbuchstabierung. Vorübergehend setzen wir ein Fragezeichen über das Gleichheitszeichen. <br />

==== Induktionsschluss ====
Induktionsvoraussetzung: <br />

Wenn eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll, dann muss sie für jedes <br />
beliebige n=k gelten. <br />

<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ k \stackrel{?}{=} \frac{k*(k+1)}{2} </math>. <br />

Induktionsbehauptung: <br />
Wenn eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll, dann muss sie auch für den Nachfolger von k, <br />
also k+1 gelten. Das nennen wir die Induktionsbehauptung. <br />
<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ k ~~ + ~ (k + 1) \stackrel{?}{=} \frac{(k+1)*((k+ 1)+1)}{2}</math> <br />

Empfehlung: Den Term "k+1" IMMER in Klammern setzen! <br />

Jetzt holen wir die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung und nehmen dabei an, dass diese richtig ist.<br />

<math>\underbrace{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ k }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} ~ + ~ (k + 1) \stackrel{?}{=} \frac{(k+1)*((k+ 1)+1)}{2}</math><br />

<math>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{k*(k+1)}{2}\, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + ~ (k + 1) \stackrel{?}{=} \frac{(k+1)*((k+ 1)+1)}{2}</math> <br />

Jetzt werden beide Seiten der Gleichung umgeformt. <br />

<math>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{k*(k+1)}{2}\, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + \frac{2*(k+1)}{2}\,~ \stackrel{?}{=} \frac{(k+1)*(k+2)}{2}</math> <br />

In allen Zählern die Klammern beseitigen: <br />

<math>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{k^2+k}{2}\, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + \frac{2k+2}{2}\,~~~~ \stackrel{?}{=} \frac{k^2+k+2k+2}{2}</math> <br />

Auf beiden Seiten die Nenner entfernen und die Zähler addieren führt zu: <br />

<math>k^2~+~3k~+2~=~k^2~+~3k~+2 </math> <br />

Die Induktionsbehauptung ist bewiesen, Bedingung ist die Richtigkeit der Induktionsvoraussetzung. <br />
Wir sind daher noch nicht fertig. Zunächst ist nur eine Dominosteinkette aufgestellt, die Steine stehen <br />
senkrecht und dicht genug nebeneinander. Wir wissen bis jetzt: Wenn der 27. Stein umfällt, dann fällt <br />
auch der nachfolgende 28. Stein um. Und danach der 29. Wenn der 142.367. Stein umfällt, dann fällt auch der 142.368.<br />
Stein um. Und wenn der erste Stein umfällt, dann fällt auch der zweite Stein um. Wir müssen aber noch <br />
zeigen, <span style="color: red">DASS</span> ein erster Dominostein umfällt. Dieses ist unser Induktionsanfang. <br />

==== Induktionsanfang ====
Zunächst versuchen wir, alle Dominosteine ab dem 5. zu kippen und mit n=5 erhalten wir: <br />

<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 ~ = \frac{5*(5+1)}{2}~.</math> <br />
15 = 15, wahre Aussage. <br />

Der 5. Dominostein ist gefallen und alle nachfolgenden <br />
ebenfalls. Die Aussage ist bewiesen für alle n größer oder gleich fünf. <br />

Die Aufgabe verlangte jedoch die Untersuchung für alle n größer oder gleich eins. Also setzen wir n=1 ein. <br />

<math>1 ~ = ~ \frac{1*(1+1)}{2}</math> <br />

1 = 1, wahre Aussage. <br />

Mit Hilfe von Induktionsanfang und Induktionsschluss ist jetzt gezeigt: <br />

<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ~ ... ~ + ~ n = \frac{n*(n+1)}{2}</math><br />

ist gültig für alle natürlichen Zahlen n <math> \geq{1} </math>. <br />

<u>Wichtig</u>: ein Induktionsanfang ist zwingend erforderlich. Wenn dieser fehlt, ist alles andere <br />
wertlos und der Beweis ist nicht erbracht. <br /><br />

=== Beispiel 2: Aufsummierung von Kubikzahlen ===
Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n <math> \geq{1} </math> gilt: <br />
<math>1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}~.</math> <br />

Wir beginnen jetzt mit dem Induktionsanfang, wie es üblich ist. Das Fragezeichen <br />
über dem Gleichheitszeichen lassen wir weg. Wir formen in diesem Beispiel <br />
nur die linke Seite der Induktionsbehauptung um. Das erfordert, dass man die <br />
Möglichkeiten des Ausklammerns und binomische Formeln erkennt. <br />

==== Induktionsanfang ====
Wir setzen n=1: <br />

<math>1^3 ~ = \frac{1^2(1+1)^2}{4}\,</math> <br />

1=1, wahre Aussage. <br />

==== Induktionsschluss ====

Induktionsvoraussetzung: <br />

<math>1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}~.</math><br />

Induktionsbehauptung: <br />

<math>1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.</math><br />

Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung: <br />

<math>\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}</math> <br />

<math>\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.</math> <br />

Wir formen hier nur die linke Gleichungsseite um. <br />

Erweitern des zweiten Summanden (mal 4): <br />

<math>\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~ \frac{4(k+1)^3}{4} ~ </math>, <br />

<math>=\frac{k^2(k+1)^2\, + ~ 4(k+1)^3}{4} ~ </math>, <br />

auf die rechte Seite sehen, um eine geeignete Vorgehensweise herauszufinden. <br />

Zweckmäßig ist es, <math>(k+1)^2</math> ausklammern: <br />

<math>=\frac {(k+1)^2 [k^2+4(k+1)]}{4} ~ </math>, <br />

<math>=\frac {(k+1)^2 (k^2+4k+4)}{4} ~ </math> <br />

Binom im zweiten Faktor erkennen: <br />

<math>=\frac {(k+1)^2 (k+2)^2}{4} ~ </math>, <br />

<math>=\frac {(k+1)^2 ((k+1)+1)^2} {4} ~ </math> <br />

Und das ist gleich der rechten Seite der Induktionsbehauptung. <br />

q.e.d. <br />

(q.e.d ist die Abkürzung für qoud erat demonstrandum, übersetzt: was zu beweisen war. <br />
Auch ein kleines, leeres Quadrat am Ende des Beweises ist üblich.)

Eine zweite Lösungsmöglichkeit ist das Entfernen der Klammern auf beiden Seiten der IB, dann <br />
muss man das Binom nicht erkennen. Nachteil: man kann sich leichter verrechnen. <br />

<math>\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}</math> <br />

<math>\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~</math> <br />

zweiter Summand erweitert (mal 4): <br />

<math>\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~~\frac{4(k+1)^3}{4} ~~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~</math>, <br />

beide Seiten mal 4: <br />

<math>k^2(k+1)^2 + 4(k^3+3k^2+3k+1)~ = ~(k+1)^2(k+2)^2</math> <br />

<math>k^2(k^2+2k+1)+4k^3+12k^2+12k+4~ = ~ (k^2+2k+1)(k^2+4k+4)</math> <br />

<math>k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4 ~ = ~ k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4</math> <br />

q.e.d. <br /><br />

=== Beispiel 3: Teilbarkeiten (I) ===
Auch Teilbarkeiten lassen sich mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen. <br />
Meistens wenden wir die Induktionsvoraussetzung erst am Ende an. Das Vorgehen ist <br />
weitgehend gleich: wenn jeder Summand durch eine Zahl teilbar ist, dann ist auch <br />
die gesamte Summe durch diese Zahl teilbar. Bei den Umformungen ist es Ziel, dass die <br />
Induktionsvoraussetzung wieder zum Vorschein kommt. <br />

Beweisen Sie: <math>3*4^n+6 </math> ist für alle natürlichen Zahlen n <math> \geq{1} </math> durch 9 ohne Rest teilbar. <br />

==== Induktionsanfang ====

Wir setzen n=1 <br />

<math>3*4^1+6 = 18</math>, 18 ist durch 9 teilbar, wahre Aussage. <br />

==== Induktionsschluss ====

Induktionsvoraussetzung: <br />

<math>3*4^k+6 </math> ist durch 9 teilbar. <br />

Induktionsbehauptung: <br />

<math>3*4^{(k+1)} +6 </math> ist durch 9 teilbar. <br />

Anwendung der Potenzgesetze führt zu: <br />

<math>3*4*4^k +6 </math> <br />

Wir wollen erreichen, dass die IV sichtbar wird, <br />
der Trick: wir addieren 18-18 und sortieren um. <br />
Dieses zu erkennen ist der schwierigste Teil der Aufgabe. <br />

<math>3*4*4^k +6~~~ +18-18 </math> <br />

<math>3*4*4^k +24~~~ -18 </math> <br />

<math>4*(3*4^k +6)~~ -18 </math> <br />

In der Klammer steht die IV, d. h. der erste Summand ist durch 9 teilbar. Auch -18 ist durch 9 teilbar. <br />

Also ist der gesamte Ausdruck durch 9 teilbar. <br />

q.e.d. <br /><br />

=== Beispiel 4: Teilbarkeiten (II) ===
Beweisen Sie, dass <math>7^n-2^n </math> für alle natürlichen Zahlen n <math>\geq{1} </math> durch 5 ohne Rest teilbar ist. <br />

==== Induktionsanfang ====
Wir setzen n=1 <br />

<math>7^1-2^1 </math> = 5, durch 5 teilbar, wahre Aussage. <br />

==== Induktionsschluss ====
Induktionsvoraussetzung: <br />

<math>7^k-2^k </math> ist durch 5 teilbar. <br />

Induktionsbehauptung: <br />

<math> 7^{(k+1)}-2^{(k+1)} </math> ist durch 5 teilbar. <br />

<math>7*7^k-2*2^k </math> <br />

Ziel soll sein, die IV sichtbar machen, dazu den ersten Faktor 7 zerlegen in 5 + 2. <br />

<math>(5+2)*7^k-2*2^k </math> <br />

<math>5*7^k+2*7^k-2*2^k </math> <br />

<math>5*7^k+2*(7^k-2^k) </math> <br />

Der erste Summand ist durch 5 teilbar. Mit der IV ist auch der zweite Summand durch 5 teilbar. <br />
Also ist der gesamte Ausdruck durch 5 teilbar. <br />

q.e.d. <br /><br />

=== Beispiel 5: Beweis einer Ungleichung ===
Diesmal betrachten wir eine Ungleichung, besser wäre die Bezeichnung "Relation". <br />
Der Umgang mit den Zeichen =, <, >, <math> \geq </math>, <math> \leq </math> darf keine Schwierigkeiten machen. <br />

Beweisen Sie: <math>2^n > n^2 ~</math> für alle n > 4. <br />

Folgende Vorgehensweise ist bei Ungleichungen empfehlenswert: Man zieht die Induktionsbehauptung <br />
auseinander und setzt die Induktionsvoraussetzung in die Mitte. <br />
In der Abfolgekette von oben nach unten (wo die Punkte sind) dürfen nur die Zeichen <br />
<math>=,</math><math> ~ ></math> und <math>\geq</math> auftreten. Da in der Mitte (in der Induktionsvoraussetzung) ein "<math>></math>" steht, <br />
würde es genügen, wenn alle anderen Zeichen ein "<math>=</math>" wären.

==== Induktionsanfang ====
Wir setzen <math>n=5</math> <br />

<math>2^5 > 5^2 ~ \Rightarrow ~ 32>25</math>, wahre Aussage. <br />

==== Induktionsschluss ====
Induktionsvoraussetzung: <br />

<span style="background: #FFA54F"><math>2^k > k^2 ~</math> <br /></span>

Induktionsbehauptung: <br />

<span style="background: #8DEEEE"><math>2^{(k+1)} > (k+1)^2 ~</math></span> <br />

Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung: <br />

<span style="background: #8DEEEE"><math> 2^{(k+1)} </math></span> <br />
* <br />
* <br />
* <br />
* <br />
<span style="background: #FFA54F"><math>2^k ~</math></span> <br />
<span style="background: #FFA54F"><math>></math></span> <br />
<span style="background: #FFA54F"><math> k^2 ~</math></span> <br />
* <br />
* <br />
* <br />
* <br />
<span style="background: #8DEEEE"><math> (k+1)^2 ~</math></span> <br />

Zunächst sieht es gut aus. <math> 2^{(k+1)} </math> ist größer als <math> 2^{k} </math>. <br />
Aber es droht Ungemach, denn <math> k^2 ~</math> ist kleiner als <math> (k+1)^2 ~</math> <br />
und es dürfen in dieser Aufgabe nur die Zeichen <math>=,</math><math> ~ ></math> und <math>\geq</math> verwendet werden. <br />
Wir berechnen <math> 2^{(k+1)} ~ = ~ 2*2^k </math> und erweitern die Induktionsvoraussetzung <br />
mit zwei. Die IV muss auf beiden Seiten erweitert werden (damit die Aussage nicht <br />
verfälscht wird), deshalb wird <math> k^2 ~</math> ebenfalls verdoppelt. Das geschieht in 2.) und 3.) .<br />
Jetzt sieht es besser aus, es muss bewiesen werden, dass <math>2*k^2 \geq (k+1)^2</math> . <br />
Das geschieht durch eine v.I. innerhalb einer v.I. . <br />

Nochmal von vorne: <br />

1.) <span style="background: #8DEEEE"><math> 2^{(k+1)} </math></span> <br />
         <math>=</math> <br />
2.) <span style="background: #FFA54F"><math> 2*2^k </math></span> <br />
         <span style="background: #FFA54F"><math>></math></span> <br />
3.) <span style="background: #FFA54F"><math> 2*k^2 </math></span> <br />
         <math>=</math> <br />
4.) <math>k^2+k^2 </math> <br />

                        Zu beweisen: <math>k^2 \geq {2*k+1}</math> für alle <math>k \geq 5</math>. <br /><br />
                        '''Induktionsanfang''' <br />
                        4.1.) <math>n=5</math> <br />
                        4.2.) <math> 5^2>11 </math>, wahre Aussage. <br />
                        '''Induktionsschluss''' <br />
                        Induktionsvoraussetzung: <br />
                        4.3.) <math>k^2 \geq {2*k+1}</math> <br />
                        Induktionsbehauptung: <br />
                        4.4.) <math>(k+1)^2 \geq {2*(k+1)+1}</math> <br />
                        Beweis der Induktionsbehauptung: <br />
                        4.5.) <math>(k+1)^2</math> <br />
                                      <math>=</math> <br />

                        4.6.) <math>k^2+2*k+1 </math> <br />
                                      <math>\geq </math> <br />
                        4.7.) <math>2*k+1 +2*k+1</math> <br />
                                      <math>= </math> <br />
                        4.8.) <math>4*k+2</math> <br />
                                      <math>> </math> <br />
                        4.9.) <math>2*k+3</math> <br />
                                      <math>= </math> <br />
                        4.10.) <math>2*(k+1)+1</math> <br />
                        (q.e.d.) <br />
         <math>></math> <br />
5.) <math>k^2+2*k+1</math> <br />
         <math>=</math> <br />
6.) <span style="background: #8DEEEE"><math> (k+1)^2</math></span> <br />

q.e.d.

== Weblinks ==
*[https://www.youtube.com/watch?v=zM997Tpr59k&t=305s Vorlesung von Christian Spannagel]
*[https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf Aufgabensammlung von Rainer Müller, PDF-Datei]
*[https://www.youtube.com/watch?v=JirX7ssZ74s BrainFAQ]

Gruppen

2026-01-26T11:50:09Z

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__NOTOC__
Eine Gruppe ist in der Mathematik eine Menge, die in Verbindung mit einer beschriebenen Verknüpfung
bestimmte Axiome erfüllt.

Wir stellen zunächst einige Beispiele und Gegenbeispiele für Gruppen vor, erklären die Axiome und
gleichen die Beispiele mit den Axiomen ab.

== Beispiele ==

* Die Menge <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe.

* Die Menge <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe.

* Die Menge der geraden Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe.

* Die Menge der ungeraden Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

* Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

* Die beiden Zahlen 1 und -1 sind bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe.

* Die beiden Zahlen 1 und -1 sind bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

* Die Zahl "Null" ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe. Bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation ebenfalls.

* Die Zahl "Eins" ist bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe. Bezüglich der gewöhnlichen Addition nicht.

* Die beiden Zahlen "Null" und "Eins" sind eine Gruppe, wenn folgende Additionsregeln gelten, also <math>1 \oplus 1 = 0</math> : <br />

{| class="wikitable" style="margin-left:2em; text-align:center;"
|-
! <math>\oplus</math>
! <math>0</math>
!  <math>1</math> 
|-
! <math>0</math>
| <math>0</math> ||  <math>1</math> 
|-
! <math>1</math>
|  <math>1</math>  || <math>0</math>
|}

* Die vier Elemente <math>a, b, c</math> und <math>e</math> sind nach folgender Tabelle eine Gruppe, es gilt z.B. <math>c \oplus b = a</math>, das "<math>e</math>" wird neutrales Element genannt:

{| class="wikitable" style="margin-left:2em; text-align:center;"
|-
! <math>\oplus</math>
! <math>e</math>
! <math>a</math>
! <math>b</math>
! <math>c</math>
|-
! <math>e</math>
| <math>e</math> || <math>a</math> || <math>b</math> ||  <math>c</math>  
|-
! <math>a</math>
| <math>a</math> || <math>b</math>||  <math>c</math>   || <math>e</math>
|-
! <math>b</math>
| <math>b</math> ||  <math>c</math>   || <math>e</math> || <math>a</math>
|-
! <math>c</math>
|   <math>c</math>   || <math>e</math>|| <math>a</math> || <math>b</math>
|}

* Die vier Elemente <math>a, b, c</math> und <math>e</math> bilden auch nach dieser Tabelle eine Gruppe, sie nennt sich Kleinsche Vierergruppe:

{| class="wikitable" style="margin-left:2em; text-align:center;"
|-
! <math>\oplus</math>
! <math>e</math>
! <math>a</math>
! <math>b</math>
! <math>c</math>
|-
! <math>e</math>
| <math>e</math> || <math>a</math> || <math>b</math> ||  <math>c</math>  
|-
! <math>a</math>
| <math>a</math> || <math>e</math> ||  <math>c</math>   || <math>b</math>
|-
! <math>b</math>
| <math>b</math> ||  <math>c</math>   || <math>e</math> || <math>a</math>
|-
! <math>c</math>
|   <math>c</math>   || <math>b</math> || <math>a</math> || <math>e</math>
|}

* Die rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>, die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> und die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind ebenfalls Gruppen bezüglich der gewöhnlichen Addition.

* Die rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>, die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> und die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind keine Gruppen bezüglich der gewöhnlichen Division.

* Drehungen und Permutationen können ebenfalls Gruppen sein.

== Gruppenaxiome ==

=== Abgeschlossenheit der Menge ===
Man nennt eine Menge abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung, wenn für je zwei Elemente das <br />
Ergebnis der Verknüpfung ebenfalls in der Menge liegt.

=== Assoziativität ===
Eine Klammersetzung bei einer zweifachen Verknüpfung ändert das Ergebnis nicht, also <br />
<math>(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)</math>.

Mit Zahlen: <math>(3 + 4) + 17 = 7 + 17 = 24 = 3 + (4 + 17) = 3 + 21</math>

=== Existenz eines neutralen Elements ===
Jede Gruppe muss genau ein neutrales Element (hier "<math>e</math>" genannt) enthalten. Allgemein ist dieses die Null <br />
bei der gewöhnlichen Addition <math>(3 + 0 = 3)</math> und die Eins bei der gewöhnlichen Multiplikation <math>(12 * 1 = 12)</math>. <br />
Ein neutrales Element ist sowohl linksneutral als auch rechtsneutral, <br />
so dass gilt: <math> e \circ b = b \circ e = b</math>, also <math>0 + 3 = 3 + 0 = 3</math>. Oder <math>1 * 12 = 12 * 1 = 12</math><br /><br />
Ebenfalls neutrale Elemente sind Nullvektor, Nullmatrix (Addition) und quadratische Einheitsmatrizen, <br />
also eine 3*3-Einheitsmatrix oder eine 5*5-Einheitsmatrix (Matrizenmultiplikation). <br />

=== Existenz inverser Elemente ===
Zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element. Die Verknüpfung von einem Element <br />
mit seinem Inversen ergibt das neutrale Element: <br />

<math>\overline a \circ a = e = a \circ \overline a</math>. <br /><br />

Beispiel für eine Addition: <math>3+(-3) = 0 </math>, das inverse Element zu <math>3</math> ist <math>-3</math>.<br /><br />
Beispiel für eine Multiplikation: <math>4 \times \frac {1}{4} = 1</math>, das inverse Element zu <math>4</math> ist <math>\frac {1}{4}</math>.<br />

Ein Element und sein inverses Element müssen nicht zwingend verschieden aussehen. <br />
Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu "<math>1</math>" ebenfalls "<math>1</math>". <br />
Und zu <math>-1</math> gehört <math>-1</math>, denn <math>-1*-1 = 1</math>.

2025-02-15T21:59:49Z

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